Hukum Newton pada benda-benda yang dihubungkan dengan tali – Katrol

Pengantar

Pada pembahasan mengenai hukum Newton pada bidang datar dan bidang miring, kita telah menganalisis komponen-komponen gaya yang bekerja pada benda dan yang mempengaruhi gerakan benda pada permukaan bidang datar dan bidang miring. Kali ini kita mencoba mempelajari penerapan hukum Newton pada benda-benda yang dihubungkan dengan tali, misalnya benda yang digantung pada katrol. Sebelum membahas lebih jauh, terlebih dahulu kita berkenalan dengan konsep tegangan tali. Tegangan tali akan selalu dijumpai dalam setiap analisis mengenai komponen-komponen gaya yang bekerja pada benda yang dihubungkan dengan tali. Oleh karena itu, alangkah baiknya jika kosep tegangan tali dipahami secara baik dan benar sehingga memudahkan dirimu dalam memahami penjelasan selanjutnya. Selamat belajar ya, mudah-mudahan dirimu tidak tegang seperti tali ….

Tegangan Tali

Untuk membantu dirimu memahami konsep tegangan tali, pahami ilustrasi berikut ini. Misalnya kita letakan 3 benda pada permukaan bidang datar, di mana ketiga benda tersebut dihubungkan dengan tali (amati gambar di bawah).

Ketika kita menarik benda A ke kiri dengan gaya F, benda B dan C juga ikut tertarik karena ketiga benda tersebut dihubungkan dengan tali. Pada saat benda A ditarik, tali 1 dan tali 2 tegang sehingga pada kedua ujung tali tersebut timbul tegangan tali (T). Benda A dan B dihubungkan dengan tali yang sama sehingga gaya tegangan tali pada kedua ujung tali 1 sama besar (T₁). Demikian juga, besar gaya tegangan tali pada kedua ujung tali 2 (T₂) sama besar, karena benda B dan C dihubungkan dengan tali yang sama. Ingat bahwa gaya tegangan tali pada tali 1 (T₁) berbeda dengan gaya tegangan tali pada tali 2 (T₂), karena tali 1 bekerja pada benda A dan B sedangkan tali 2 bekerja pada benda B dan C. Inti penjelasan ini adalah gaya tegangan tali (T) sama besar apabila tali bekerja pada benda yang sama, dang besar gaya tegangan tali berbeda apabila bekerja pada benda yang berbeda.

Tegangan Tali pada Katrol

Agar dirimu semakin memahami gaya tegangan tali, mari kita tinjau gaya tegangan tali katrol. Permukaan katrol dianggap licin sempurna sehingga tidak ada gaya gesek dan massa tali sangat ringan sehingga kita abaikan dalam analisis ini.

Ilustrasi 1 :

Pada katrol digantungkan tali dan pada kedua ujung tali digantungkan dua benda, masing-masing bermasa m₁ dan m₂. m₁ lebih besar dari m₂ (gaya berat pada benda bermassa m₁ lebih besar dari gaya berat pada benda bermassa m₂) sehingga katrol berputar ke kiri (berlawanan dengan arah jarum jam), sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Benda bermassa m₁ bergerak turun sedangkan benda bermassa m₂ bergerak naik….

Pada tali bekerja gaya tegangan tali T₁ dan T₂, di mana besar gaya tegangan tali T₁ = T₂ (ingat ya, T₁ dan T₂ berada pada tali yang sama).

Ilustrasi 2 :

Katrol 1 dan katrol 2 dihubungkan dengan sebuah tali panjang. Katrol 2 dan benda bermassa m dihubungkan dengan sebuah tali pendek, sebagaimana tampak pada gambar di bawah…

Ketika kita menarik tali ke bawah dengan gaya sebesar F, maka akan timbul gaya tegangan tali T₁, T₂ dan T₃. T₄ adalah gaya tegangan tali yang bekerja pada katrol 1 dengan tempat di mana tali dihubungkan, sedangkan T₅ adalah gaya tegangan tali yang bekerja pada katrol 2 dan benda. Besar T₁ = T₂ = T₃. T₁, T₂ dan T₃ tidak sama dengan T₄ dan T₅. Besar T₄ juga tidak sama dengan T₅. Mengapa demikian ? alasannya, T₁, T₂ dan T₃ merupakan gaya tegangan tali pada tali yang sama, sedangkan T₄ dan T₅ merupakan gaya tegangan tali pada tali yang berbeda. Sampai di sini mudah2an dirimu memahami penjelasan GuruMuda.

Sekarang mari kita pelajari penerapan hukum Newton pada benda-benda yang dihubungkan dengan tali.

Hukum Newton pada benda-benda yang dihubungkan dengan tali.

Pertama, dua buah benda bermassa sama, di mana kedua benda tersebut dihubungkan dengan sebuah tali dan digantungkan pada sebuah katrol (Lihat gambar di bawah). Kita menganggap permukaan katrol sangat licin sehingga gaya gesekan diabaikan dan massa tali sangat ringan sehingga kita abaikan dalam analisis ini.

Berdasarkan Hukum III Newton (Hukum aksi-reaksi), benda 1 ditarik oleh tali dengan gaya sebesar T₁ yang arahnya ke atas dan tali sendiri ditarik ke bawah oleh benda 1 dengan gaya sebesar T₁ yang arahnya ke bawah (sambil lihat gambar ya…) Demikian juga dengan benda 2. Benda 2 ditarik oleh tali dengan gaya sebesar T₂ yang arahnya ke atas dan tali sendiri ditarik ke bawah oleh benda 2 dengan gaya sebesar T₂ yang arahnya ke bawah.

Karena m₁ (massa benda 1) dan m₂ (massa benda 2) sama besar maka benda diam alias tidak bergerak. Dengan kata lain, benda berada dalam keadaan setimbang. walaupun benda diam, tapi pada benda tersebut bekerja gaya berat dan gaya tegangan tali.

Berdasarkan hukum II Newton, gaya yang bekerja pada benda di atas adalah :

Kedua, dua buah benda dihubungkan dengan sebuah tali dan digantungkan pada sebuah katrol. Massa salah satu benda lebih besar dari benda lain (m₂ > m₁). Berdasarkan Hukum III Newton (Hukum aksi-reaksi), benda 1 ditarik oleh tali dengan gaya sebesar T₁ yang arahnya ke atas dan tali sendiri ditarik ke bawah oleh benda 1 dengan gaya sebesar T₁ yang arahnya ke bawah (sambil lihat gambar ya…) Demikian juga benda 2 ditarik oleh tali dengan gaya sebesar T₂ yang arahnya ke atas dan tali sendiri ditarik ke bawah oleh benda 2 dengan gaya sebesar T₂ yang arahnya ke bawah.

Karena m₂ (massa benda 2) lebih besar dari m₁ (massa benda 1) maka benda 2 bergerak ke bawah dan benda 1 bergerak ke atas. Perhatikan arah putaran katrol. Benda 2 bergerak ke bawah karena dipengaruhi oleh gaya berat (w₂). Ingat ya, w₂ > w₁

Berdasarkan hukum II Newton, gaya yang bekerja pada benda di atas adalah :

Karena gaya tegangan tali T₁ dan gaya tegangan tali T₂ bekerja pada tali yang sama, maka :

T₁ = T₂ = T

Dengan demikian, persamaan 1 dan persamaan 2 kita tulis ulang menjadi :

Menentukan nilai percepatan (a)

Kita eliminasi gaya tegangan tali (T) pada kedua persamaan ini untuk memperoleh nilai percepatan gerak benda (a) :

Bagaimana dengan gaya tegangan tali T ?

Untuk memperoleh nilai T, kita subtitusikan nilai a pada persamaan 3 ke dalam persamaan 1 atau persamaan 2. Misalnya kita subtitusikan nilai a pada persamaan 3 ke dalam persamaan 1 :

Ketiga, dua benda dihubungkan dengan katrol pada bidang miring, di mana massa benda 2 (m₂) lebih besar dari massa benda 1 (m₁), sehingga benda 2 bergerak ke bawah sedangkan benda 1 bergerak ke atas. perhatikan arah putaran katrol.

Berdasarkan hukum II Newton, gaya yang bekerja pada benda di atas adalah :

Karena gaya tegangan tali T₁ dan gaya tegangan tali T₂ bekerja pada tali yang sama, maka :

T₁ = T₂ = T

Dengan demikian, persamaan 1 dan persamaan 2 kita tulis ulang menjadi :

Menentukan nilai percepatan (a)

Kita eliminasi gaya tegangan tali (T) pada kedua persamaan ini untuk memperoleh nilai percepatan gerak benda (a) :

Bagaimana dengan gaya tegangan tali T ?

Untuk memperoleh nilai T, kita subtitusikan nilai a pada persamaan 3 ke dalam persamaan 1 atau persamaan 2. Misalnya kita subtitusikan nilai a pada persamaan 3 ke dalam persamaan 1 :

Hukum Kepler

Pengantar

Sebelum kita mempelajari hukum Kepler secara lebih mendalam, terlebih dahulu kita kenang kembali kisah masa lalu yang mengantar Paman Kepler merumuskan hukumnya yang terkenal sampai di seluruh pelosok negeri, bahkan sampai ke seluruh penjuru ruangan kelas XI IPA. Tulisan ini juga menyinggung masa lalu ilmu astronomi, sebuah kisah perkembangan ilmu pengetahuan yang selalu menuai pertentangan di tahap awal perkembangannya.

Sejarah Panjang

Awal perkembangan ilmu astronomi modern dimulai oleh Purbach (1423-1461) di universitas Wina serta lebih khusus lagi oleh muridnya Yohanes muller (1436-1476). Johanes Muller pergi ke Italia khusus untuk belajar karya asli Ptolemeus tentang astronomi bersama temannya Walther (1430-1504). Walther adalah seorang yang kaya, ia memiliki observatorium pribadi, serta mesin percetakan pribadi. Muller bersama Walther membuat penanggalan berdasarkan benda-benda langit yang banyak dipakai oleh para pelaut Spanyol dan Portugis. Muller kemudian pergi ke Roma untuk melakukan pembaruan kalender di sana, akan tetapi ia meninggal sebelum dapat melaksanakan niatnya. Pengamatan muller dilanjutkan oleh temannya, Walther dan Albrecht Durer. Maka, ketika Nicolas Copernicus (1473-1543) memulai karyanya, telah terdapat cukup banyak karya hasil pengamatan astronomi.

Sistem Copernicus yang baru tentang alam semesta menempatkan matahari sebagai pusat alam semesta, serta terdapat tiga jenis gerakan bumi. Tiga jenis gerakan bumi itu adalah gerak rotasi bumi (perputaran bumi pada porosnya), gerak revolusi (gerak bumi mengelilingi matahari) dan suatu girasi perputaran sumbu bumi yang mempertahankan waktu siang dan malam sama panjangnya. Teori Copernicus tersebut ditulis tangan dan diedarkan di antara kawan-kawannya pada tahun 1530. Teori Copernicus menjadi semakin terkenal dan menarik perhatian seorang ahli matematika dari wittenberg bernama George Rheticus (1514-1576). Rheticus kemudian belajar bersama Copernicus dan pada tahun 1540 menerbitkan buku tentang teori Copernicus. Akhirnya Copernicus menerbitkan hasil karyanya sendiri pada tahun 1543 berjudul On the Revolutions Of the Celestial Orbs.

Buku copernicus dicetak di Nuremberg, pada awalnya di bawah supervisi Rheticus, kemudian dilanjutkan di bawah supervisi Andreas Osiander, seorang pastor Lutheran. Osiander menambahkan kata pengantar untuk karya Copernicus dengan menyatakan bahwa teori yang baru itu tidak harus benar, dan dapat dipandang semata-mata sebagai suatu kecocokan metode matematis tentang benda-benda langit. Copernicus sendiri tidak berpendapat begitu. Ia berpendapat bahwa sistem semesta yang dikemukakannya adalah nyata.

Copernicus berpendapat bahwa sistem yang dikemukakan oleh ptolemous ‘tidak cukup tepat, tidak cukup memuaskan pikiran’, karena ptolemous beranjak langsung dari karya kelompok Pythagoras. Untuk menjelaskan gerakan benda-benda langit, ptolemous menganggap bahwa benda-benda langit itu bergerak melingkar dengan kecepatan angular yang tidak sama relatif terhadap pusatnya, kecepatan anguler itu hanya sama terhadap titik di luar pusat lingkaran itu. Menurut copernicus, asumsi itu merupakan kesalahan pokok dari sistem ptolemous. Akan tetapi hal ini bukan hal pokok yang dikemukakan oleh copernicus. Kritik utama yang dikemukakan oleh copernicus kepada para ahli astronomi pendahulunya adalah, dengan menggunakan aksioma-aksiomanya, mereka telah gagal menjelaskan gerakan benda-benda langit yang teramati dan juga teori-teori yang mereka kembangkan melibatkan sistem yang rumit yang tidak perlu. Copernicus menilai para pendahulunya dengan mengatakan : “di dalam metode yang dikembangkan, mereka telah mengabaikan hal-hal penting atau menambahkan hal-hal yang tidak perlu”.

Copernicus memusatkan perhatian pada hal yang terakhir. Ia melihat bahwa para leluhurnya telah menambahkan tiga gerakan bumi untuk setiap benda langit agar sampai pada kesimpulan bahwa bumi berada diam di pusat putaran. Ketiga lingkaran tersebut telah ditambahkan untuk setiap benda langit di dalam sistem geometris bangsa Yunani untuk menjelaskan gerakan benda-benda langit dengan bumi sebagai pusatnya. Copernicus berpendapat bahwa lingkaran-lingkaran tersebut tidak diperlukan dengan berpendapat bahwa bumi berputar pada sumbuhnya setiap hari dan bergerak melintasi orbitnya mengitari matahari setiap tahun. Dengan cara demikian, Copernicus mengurangi jumlah lingkaran yang diperlukan untuk menjelaskan gerakan benda-benda langit.

Dengan sistem yang dikemukakannya itu, Copernicus memberikan jawaban yang paling sederhana untuk menjawab pertanyaan yang diajukan bangsa Yunani tentang bagaimana menjelaskan gerakan benda-benda langit dalam suatu gerakan yang melingkar dan seragam. Tidak ada hal yang baru dalam metode tersebut, hal itu telah dipergunakan oleh para astronom sejak jaman Pythagoras. Dengan menggunakan konsepsi yang dipakai oleh Pythagoras, ia mencampakkan sistem yang dikembangkan oleh bangsa yunani. Akan tetapi, ada satu konsep yang tidak dipakainya, yaitu bahwa benda-benda langit adalah mulia.

Di dalam sistem Copernicus, bumi berputar mengitari matahari, seperti planet-planet lainnya. Bumi menjalani gerakan yang seragam dan melingkar sebagai benda langit, suatu gerakan yang sejak lama diyakini sebagai gerakan yang sempurna. Lebih jauh, copernicus menekankan kesamaan antara bumi dengan benda-benda langit lainnya bahwa semuanya memiliki gravitasi. Gravitasi ini tidak berada di langit, melainkan bekerja pada materi, seperti bumi dan benda-benda langit memiliki gaya ikat dan mempertahankannya dalam suatu lingkaran yang sempurna. Untuk hal ini penjelasan copernicus agak berbau teologis : “menurut saya gravitasi tidak lain daripada suatu kekuatan alam yang diciptakan oleh pencipta agar supaya semuanya berada dalam kesatuan dan keutuhan. Kekuatan seperti itu mungkin juga dimiliki oleh matahari, bulan dan planet-planet agar semuanya tetap bundar”

Sistem copernicus lebih bagus dan lebih sederhana daripada sistem ptolomeus. Di dalam sistem lama, benda-benda langit memiliki baik gerakan timur-barat maupun rotasi pada arah yang berlawanan. Dalam sistem copernicus, bumi dan semua planet bergerak mengitari matahari dengan arah yang sama dan laju yang berkurang semakin jauh dari matahari. Sementara itu, matahari yang berada di pusat dan bintang-bintang yang berada di luar tatasurya berada pada tempatnya yang tetap. Sekarang dapat dijelaskan mengapa planet-planet kelihatan mendekati dan menjahui bumi. Planet-planet itu pada suatu saat berada pada satu sisi yang sama dengan bumi, tetapi pada saat yang lain berada pada sisi yang berseberangan

Dengan sistem Copernicus, perhitungan astronomi dibuat menjadi lebih mudah, karena melibatkan jumlah lingkaran yang lebih sedikit. Tetapi prakiraan posisi planet-planet dan perhitungan lainnya tidak lebih tepat daripada dihitung dengan menggunakan sistem ptolemous, keduanya masih memiliki kesalahan sekitar satu persen. Selanjutnya terdapat keberatan-keberatan terhadap sistem Copernicus. Pertama, dan mungkin tidak terlalu serius ketika itu, adalah kenyataan bahwa pusat tata surya tidak tepat berada pada matahari. Copernicus menempatkan pusat tatasurya pada pusat orbit bumi, yang tidak persis berada pada matahari, untuk menjelaskan perbedaan panjang musim-musim. Beberapa filsuf berpendapat bahwa pusat tata surya haruslah berada pada suatu obyek nyata, meskipun banyak juga yang menerima bahwa titik geometris dapat dipakai sebagai pusat tatasurya. Selanjutnya, para pendukung aristoteles berpendapat bahwa gravitasi bekerja ke arah titik geometris tersebut, sebagai pusat tatasurya, yang tidak harus sama dengan pusat bumi.

Keberatan kedua, yang lebih serius, menyatakan bahwa bila bumi berputar, maka udara cenderung tertinggal di belakang, hal ini akan menimbulkan angin yang arahnya ke timur. Copernicus memberikan dua jawaban untuk keberatan timur. Pertama, yang merupakan suatu jenis penjelasan abad pertengahan, yaitu udara berputar bersama-sama dengan bumi karena udara berisi partikel-partikel bumi yang memiliki sifat-sifat yang sama dengan bumi. Maka bumi menarik udara berputar bersama-sama dengan bumi karena udara bersisi partikel-partikel bumi. Maka bumi menarik udara berputar dengan bumi. Jawaban kedua yang bersifat modern, udara berputar tanpa hambatan karena udara berdampingan dengan bumi yang terus menerus berputar. Keberatan yang sama adalah apabila sebuah batu dilemparkan ke atas maka batu itu akan tertinggal oleh bumi yang berputar, sehingga kalau batu itu jatuh akan berada di sebelah barat proyeksi batu itu. Untuk keberatan ini, copernicus menjawab ‘karena benda-benda yang ditarik ke tanah oleh beratnya adalah terbuat dari tanah, maka tidak diragukan bahwa benda-benda itu memiliki sifat yang sama dengan bumi secara keseluruhan, sehingga berputar bersama-sama dengan bumi’

Keberatan lebih jauh terhadap sistem copernicus adalah bila bumi berputar, maka bumi akan hancur berkeping-keping oleh gaya sentrifugal. Copernicus menjawab bahwa bila bumi tidak berputar maka bola yang lebih besar yang ditempati oleh bintang-bintang pasti bergerak dengan kecepatan yang sangat besar dan lebih rentan oleh pengaruh gaya sentrifugal.

Nampaknya copernicus tidak menerima teori aristoteles juga tidak menerima teori adanya gaya dorong. Copernicus berpendapat bahwa spin dan gerakan dalam suatu lingkaran adalah gerakan-gerakan yang spontan, merupakan sifat alami dari suatu bentuk bola dimana bumi dan benda-benda langit ada. Oleh karena itu, copernicus tidak menggunakan hirarki para malaikat untuk menggerakan benda-benda langit, yaitu malaikat yang lebih berkuasa menggerakan benda yang lebih tinggi hirarkinya. Menurut copernicus benda-benda langit bergerak secara spontan.

Maka bersama copernicus muncul suatu sistem cosmos yang betul-betul baru. Penggerak alam semesta tidak lagi penting. Matahari sebagai pusat tatasurya menjadi pengatur alam semesta.

Terdapat figur perantara di antara pendukung aristoteles yang mendukung adanya penggerak alam semesta dan copernicus yang menyatakan matahari sebagai pusat tatasurya yaitu nicolas Cusa.

Kiranya dapat dikatakan bahwa copernicus berusaha mempromosikan suatu nilai baru dengan sistem yang dikemukakannya. Karena apabila ia sekedar ingin mengembangkan suatu sistem yang lebih sederhana, terdapat suatu sistem yang dipakai oleh tycho brahe (1546-1601). Di dalam sistem itu planet-planet berputar mengelilingi matahari, sementara itu matahari bersama-sama dengan planet-planet yang mengelilinginya sebagai satu kesatuan, berputar mengelilingi bumi yang diam yang berada pada pusat semesta. Sistem itu secara matematis ekuivalen dengan sistem copernicus, dan juga sistem itu tidak menimbulkan persoalan fisis. Tetapi sistem itu tetap mempertahankan nilai-nilai lama dalam sistem cosmos yaitu bumi sebagai pusat alam semesta. Itulah mungkin sebabnya copernicus mengajukan suatu sistem baru, heliosentris.

Dalam seluruh hidupnya, Copenicus menganut pandangan bangsa yunani bahwa gerakan benda-benda langit adalah melingkar dengan kecepatan tetap, maka meskipun sistem yang dibuat copernicus lebih sederhana dibandingkan dengan sistem ptolomeus, tetapi tetap rumit dibandingkan dengan sistem Kepler (1571-1630). Copernicus menjelaskan gerakan benda-benda langit dengan menggunakan tiga puluh empat lingkaran, sementara itu kepler hanya menggunakan tujuh elips. Seperti dikatakan oleh kepler, copernicus tidak menyadari akan adanya suatu bangunan yang sangat baik yang ada dalam genggamannya. Copernicus mengetahui bahwa gabungan beberapa lingkaran dapat menghasilkan elips, akan tetapi ia tidak pernah menggunakan elips untuk menggambarkan benda-benda langit. Lagipula, pada tahap-tahap awal, copernicus sangat menghargai hasil observasi bangsa kuno. Copernicus menentang werner yang menyatakan bahwa hasil-hasil pengamatan terakhir lebih cocok dengan sistem ptolemous daripada dengan sistem copernicus. Kenyataannya memang tiga kali lebih tepat.

Pengamatan paling penting dalam bidang astronomi modern adalah yang dilakukan oleh Ticho Brahe. Hasil pengamatan Ticho Brahe limapuluh kali lebih tepat dari hasil muller, hasil terbaik yang dapat dilakukan dengan mata telanjang. Tycho Brahe adalah orang Denmark terhormat. Raja Frederick II dari Denmark memberi tempat tinggal dan pulau Hveen untuk melakukan kegiatan astronominya. Di pulau itu Tycho Brahe membangun kastil, bengkel, percetakan pribadi, dan observatorium. Ia bekerja di pulau itu dari tahun 1576 sampai 1597. Ia berpendapat bahwa adalah tidak mungkin melakukan pengamatan tanpa panduan suatu teori. Ia menganut pendangan geosentris.

Ketika raja Frederick II wafat, fasilitas yang diterima Tycho Brahe tidak diperpanjang, kemudian Ticho Brahe pergi ke Praha pada tahun 1599, di mana ia mendapat tunjangan dari raja Rudolph II. Tahun-tahun berikutnya ia bergabung dengan astronom jerman, Johann Kepler, seorang matematikawan. Kepler adalah anak seorang tentara wurtemburg. Ia mempelajari sistem copernicus di Tubingen. Kerja sama antara Kepler dengan Ticho Brahe tidak berlangsung lama karena Ticho Brahe meninggal dunia. Setelah Ticho Brahe meninggal, Kepler tetap tinggal di Praha.

Karya pertama Kepler dalam bidang astronomi berjudul The Mysteri of the Universe yang diterbitkan pada tahun 1596. Di dalam buku itu, ia berusaha mencari suatu keselarasan antara orbit-orbit planet menurut copernicus dengan hasil pengamatan Ticho Brahe. Akan tetapi Kepler tidak berhasil menemukan keselarasan antara sistem-sistem yang dikembangkan oleh Copernicus maupun Ptolemous dengan hasil pengamatan Tycho Brahe. Oleh karena itu ia meninggalkan sistem ptolemous dan Copernicus lalu berusaha mencari sistem baru. Pada tahun 1609, Kepler menemukan ternyata elips sangat cocok dengan hasil pengamatan Ticho Brahe. Kepler tidak lagi menggunakan lingkaran sebagai lintasan benda-benda langit melainkan elips.

HUKUM KEPLER

Karya Kepler sebagian dihasilkan dari data-data hasil pengamatan yang dikumpulkan Ticho Brahe mengenai posisi planet-planet dalam geraknya di luar angkasa. Hukum ini telah dicetuskan Kepler setengah abad sebelum Newton mengajukan ketiga Hukum-nya tentang gerak dan hukum gravitasi universal. Di antara hasil karya Kepler, terdapat tiga penemuan yang sekarang kita kenal sebagai Hukum Kepler mengenai gerak planet.

Hukum I Kepler

Lintasan setiap planet ketika mengelilingi matahari berbentuk elips, di mana matahari terletak pada salah satu fokusnya.

Kepler tidak mengetahui alasan mengapa planet bergerak dengan cara demikian. Ketika mulai tertarik dengan gerak planet-planet, Newton menemukan bahwa ternyata hukum-hukum Kepler ini bisa diturunkan secara matematis dari hukum gravitasi universal dan hukum gerak Newton. Newton juga menunjukkan bahwa di antara kemungkinan yang masuk akal mengenai hukum gravitasi, hanya satu yang berbanding terbalik dengan kuadrat jarak yang konsisten dengan Hukum Kepler.

Perhatikan orbit elips yang dijelaskan pada Hukum I Kepler. Dimensi paling panjang pada orbit elips disebut sumbu mayor alias sumbu utama, dengan setengah panjang a. Setengah panjang ini disebut sumbu semiutama alias semimayor (sambil lihat gambar di bawah ya).

F₁ dan F₂ adalah titik Fokus. Matahari berada pada F₁ dan planet berada pada P. Tidak ada benda langit lainnya pada F₂. Total jarak dari F₁ ke P dan F₂ ke P sama untuk semua titik dalam kurva elips. Jarak pusat elips (O) dan titik fokus (F₁ dan F₂) adalah ea, di mana e merupakan angka tak berdimensi yang besarnya berkisar antara 0 sampai 1, disebut juga eksentrisitas. Jika e = 0 maka elips berubah menjadi lingkaran. Kenyataanya, orbit planet berbentuk elips alias mendekati lingkaran. Dengan demikian besar eksentrisitas tidak pernah bernilai nol. Nilai e untuk orbit planet bumi adalah 0,017. Perihelion merupakan titik yang terdekat dengan matahari, sedangkan titik terjauh adalah aphelion.

Pada Persamaan Hukum Gravitasi Newton, telah kita pelajari bahwa gaya tarik gravitasi berbanding terbalik dengan kuadrat jarak (1/r²), di mana hal ini hanya bisa terjadi pada orbit yang berbentuk elips atau lingkaran saja.

Contoh soal Hukum I Kepler :

Komet Halley bergerak sepanjang orbit elips mengitari matahari. Pada perihelion, komet Halley berjarak 8,75 x10⁷ km dari matahari, sedangkan pada aphelion berjarak 5,26 x 10⁹ km dari matahari. Berapakah eksentrisitas dari orbit komet halley

Panduan jawaban :

Panjang sumbu utama sama dengan total jarak komet ke matahari ketika komet berada di perihelion dan aphelion.

Panjang sumbu utama adalah 2a, dengan demikian :

Pada Perihelion, jarak komet Halley dengan matahari diperoleh dari (sambil perhatikan gambar di atas) :

a – ea = a(1-e)

Jarak komet Halley dengan matahari ketika komet Halley berada pada perihelion adalah 8,75 x10⁷ km. Dengan demikian, eksentrisitas komet Halley adalah :

Nilai eksentrisitas komet halley mendekati 1. Ini menunjukkan bahwa orbit halley sangat panjang….

Hukum II Kepler

Luas daerah yang disapu oleh garis antara matahari dengan planet adalah sama untuk setiap periode waktu yang sama.

Hal yang paling utama dalam Hukum II Kepler adalah kecepatan sektor mempunyai harga yang sama pada semua titik sepanjang orbit yang berbentuk elips.

Hukum III Kepler

Kuadrat waktu yang diperlukan oleh planet untuk menyelesaikan satu kali orbit sebanding dengan pangkat tiga jarak rata-rata planet-planet tersebut dari matahari.

Jika T₁ dan T₂ menyatakan periode dua planet, dan r₁ dan r₂ menyatakan jarak rata-rata mereka dari matahari, maka

Newton menunjukkan bahwa Hukum III Kepler juga bisa diturunkan secara matematis dari Hukum Gravitasi Universal dan Hukum Newton tentang gerak dan gerak melingkar. Sekarang mari kita tinjau Hukum III Kepler menggunakan pendekatan Newton.

Terlebih dahulu kita tinjau kasus khusus orbit lingkaran, yang merupakan kasus khusus dari orbit elips. Semoga dirimu belum melupakan Hukum Newton dan pelajaran Gerak Melingkar…

Sekarang kita masukan persamaan Hukum Gravitasi Newton dan percepatan sentripetal ke dalam persamaan Hukum II Newton :

m₁ adalah massa planet, m_M adalah massa matahari, r₁ adalah jarak rata-rata planet dari matahari, v₁ merupakan laju rata-rata planet pada orbitnya.

Waktu yang diperlukan sebuah planet untuk menyelesaikan satu orbit adalah T₁, di mana jarak tempuhnya sama dengan keliling lingkaran, 2 phi r₁. Dengan demikian, besar v₁ adalah :

Misalnya persamaan 1 kita turunkan untuk planet venus (planet 1). Penurunan persamaan yang sama dapat digunakan untuk planet bumi (planet kedua).

T₂ dan r₂ adalah periode dan jari-jari orbit planet kedua. Sekarang coba anda perhatikan persamaan 1 dan persamaan 2. Perhatikan bahwa ruas kanan kedua persamaan memiliki nilai yang sama. Dengan demikian, jika kedua persamaan ini digabungkan, akan kita peroleh :

Persamaan ini adalah Hukum III Kepler…

Kita juga bisa menurunkan persamaaan untuk menghitung besarnya periode gerak planet (T) dengan cara lain. Pertama terlebih dahulu kita turunkan untuk kasus gerak melingkar.

Sebelumnya kita telah mensubtitusikan persamaan Hukum Gravitasi Newton dan percepatan sentripetal ke dalam persamaan Hukum II Newton :

Pada pembahasan mengenai gerak melingkar beraturan, kita mempelajari bahwa laju v adalah perbandingan jarak tempuh dalam satu kali putaran (2phir) dengan periode (waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu kali putaran), yang secara matematis dirumuskan sebagai berikut :

Pada persamaan ini tampak bahwa periode dalam orbit lingkaran sebanding dengan pangkat 3/2 dari jari-jari orbit. Newton menunjukkan bahwa hubungan ini juga berlaku untuk orbit elips, di mana jari-jari orbit lingkaran (r) diganti dengan setengah sumbu utama a

Dibaca secara perlahan-lahan sambil direnungkan

DATA ASTRONOMI

Dinamika Gerak

Gaya semu, Gaya sentrifugal

Pengantar

Pernah menumpang mobil ? masa belum Ketika kita menumpang mobil yang sedang bergerak di tikungan, biasanya tubuh kita terhempas ke kiri jika mobil menikung ke kanan atau sebaliknya tubuh kita terhempas ke kanan jika mobil menikung ke kiri. Aneh ya, mengapa tubuh kita bisa terhempas ? fenomena ini tidak hanya terjadi ketika kita menumpang mobil saja tetapi juga ketika kita menumpang setiap benda yang bergerak melingkar.

(more…)

Ada 17 Komentar

Gaya Sentripetal

• Sunday Nov 2,2008 01:47 PM
• By san
• In Dinamika

Setiap benda yang bergerak membentuk lintasan lingkaran harus tetap diberikan gaya agar benda tersebut terus berputar. Anda dapat membuktikannya dengan mengikat sebuah benda (sebaiknya berbentuk bulat atau segiempat) pada salah satu ujung tali. Setelah itu putarlah tali tersebut, sehingga benda tersebut ikut berputar. Jika anda menghentikan putaran, maka benda tersebut perlahan-lahan berhenti. Hal dikarenakan tidak ada gaya yang diberikan. Agar benda tetap berputar maka harus diberikan gaya secara terus menerus, yang dalam hal ini adalah tangan anda yang memutar tali. (more…)

Ada 36 Komentar

Hukum Newton pada benda-benda yang dihubungkan dengan tali – Katrol

• Wednesday Oct 22,2008 07:40 PM
• By san
• In Dinamika

Pengantar

Pada pembahasan mengenai hukum Newton pada bidang datar dan bidang miring, kita telah menganalisis komponen-komponen gaya yang bekerja pada benda dan yang mempengaruhi gerakan benda pada permukaan bidang datar dan bidang miring. Kali ini kita mencoba mempelajari penerapan hukum Newton pada benda-benda yang dihubungkan dengan tali, misalnya benda yang digantung pada katrol. Sebelum membahas lebih jauh, terlebih dahulu kita berkenalan dengan konsep tegangan tali. Tegangan tali akan selalu dijumpai dalam setiap analisis mengenai komponen-komponen gaya yang bekerja pada benda yang dihubungkan dengan tali. Oleh karena itu, alangkah baiknya jika kosep tegangan tali dipahami secara baik dan benar sehingga memudahkan dirimu dalam memahami penjelasan selanjutnya. Selamat belajar ya, mudah-mudahan dirimu tidak tegang seperti tali …. (more…)

Ada 30 Komentar

Hukum Newton pada bidang datar dan bidang miring

• Monday Oct 20,2008 01:47 AM
• By san
• In Dinamika

Hukum-hukum Newton yang telah kita pelajari sebelumnya dapat digunakan untuk memecahkan berbagai persoalan mekanika. Sebagai contoh, kita dapat menentukan percepatan gerak sebuah benda dengan mengetahui gaya-gaya yang bekerja pada benda tersebut. Atau sebaliknya, kita juga bisa menentukan gaya-gaya yang bekerja pada sebuah benda yang bergerak, apabila diketahui percepatannya. Nah, pada kesempatan ini kita akan mempelajari lebih jauh penerapan Hukum Newton bidang datar dan bidang miring, terutama berkaitan dengan benda-benda yang bergerak akibat adanya gaya tetap yang bekerja padanya. Met belajar ya, semoga setelah belajar pembahasan ini, dirimu dapat menyelesaikan berbagai persoalan mekanika menggunakan Hukum Newton…. (more…)

Ada 27 Komentar

Hukum Kepler

• Tuesday Oct 7,2008 11:21 AM
• By san
• In Dinamika

Pengantar

Sebelum kita mempelajari hukum Kepler secara lebih mendalam, terlebih dahulu kita kenang kembali kisah masa lalu yang mengantar Paman Kepler merumuskan hukumnya yang terkenal sampai di seluruh pelosok negeri, bahkan sampai ke seluruh penjuru ruangan kelas XI IPA. Tulisan ini juga menyinggung masa lalu ilmu astronomi, sebuah kisah perkembangan ilmu pengetahuan yang selalu menuai pertentangan di tahap awal perkembangannya.

Sejarah Panjang

Awal perkembangan ilmu astronomi modern dimulai oleh Purbach (1423-1461) di universitas Wina serta lebih khusus lagi oleh muridnya Yohanes muller (1436-1476). Johanes Muller pergi ke Italia khusus untuk belajar karya asli Ptolemeus tentang astronomi bersama temannya Walther (1430-1504). (more…)

Gerak Melingkar Beraturan (GMB)

Ketika sebuah benda bergerak membentuk suatu lingkaran dengan laju tetap maka benda tersebut dikatakan melakukan gerak melingkar beraturan alias GMB.

Dapatkah kita mengatakan bahwa GMB merupakan gerakan yang memiliki kecepatan linear tetap ? Misalnya sebuah benda melakukan Gerak Melingkar Beraturan, seperti yang tampak pada gambar di bawah. Arah putaran benda searah dengan putaran jarum jam. bagaimana dengan vektor kecepatannya ? seperti yang terlihat pada gambar, arah kecepatan linear/tangensial di titik A, B dan C berbeda. Dengan demikian kecepatan pada GMB selalu berubah (ingat perbedaan antara kelajuan dan kecepatan, kelajuan adalah besaran skalar sedangkan kecepatan adalah besaran vektor yang memiliki besar/nilai dan arah) sehingga kita tidak dapat mengatakan kecepatan linear pada GMB tetap.

Pada gerak melingkar beraturan, besar kecepatan linear v tetap, karenanya besar kecepatan sudut juga tetap.

Jika arah kecepatan linear alias kecepatan tangensial selalu berubah, bagaimana dengan arah kecepatan sudut ? arah kecepatan sudut sama dengan arah putaran partikel, untuk contoh di atas arah kecepatan sudut searah dengan arah putaran jarum jam. Karena besar maupun arah kecepatan sudut tetap maka besaran vektor yang tetap pada GMB adalah kecepatan sudut. Dengan demikian, kita bisa menyatakan bahwa GMB merupakan gerak benda yang memiliki kecepatan sudut tetap.

Pada GMB, kecepatan sudut selalu tetap (baik besar maupun arahnya). Karena kecepatan sudut tetap, maka perubahan kecepatan sudut atau percepatan sudut bernilai nol. Percepatan sudut memiliki hubungan dengan percepatan tangensial, sesuai dengan persamaanKarena percepatan sudut dalam GMB bernilai nol, maka percepatan linear juga bernilai nol. Jika demikian, apakah tidak ada percepatan dalam Gerak Melingkar Beraturan (GMB) ?

Pada GMB tidak ada komponen percepatan linear terhadap lintasan, karena jika ada maka lajunya akan berubah. Karena percepatan linear alias tangensial memiliki hubungan dengan percepatan sudut, maka percepatan sudut juga tidak ada dalam GMB. Yang ada hanya percepatan yang tegak lurus terhadap lintasan, yang menyebabkan arah kecepatan linear berubah-ubah. Sekarang mari kita tinjau percepatan ini.

Percepatan Sentripetal

Percepatan tangensial didefinisikan sebagai perbandingan perubahan kecepatan dengan selang waktu yang sangat singkat, secara matematis dirumuskan sebagai berikut :

Sambil perhatikan gambar di atas. Jika kita tetapkan delta t sangat kecil (mendekati nol) maka delta x dan delta teta juga sangat kecil dan v₂ akan nyaris sejajar dengan v₁ sehingga delta v akan tegak lurus terhadap v₁ dan v₂. Dengan demikian arah delta v menuju pusat lingkaran.

Karena arah a sama dengan arah delta v maka arah a juga harus menuju pusat lingkaran. Nah, percepatan jenis ini dinamakan percepatan sentripetal alias percepatan radial dan kita beri lambang a_r atau a_s. Disebut percepatan sentripetal (a_s) karena selalu “mencari pusat lingkaran”, disebut percepatan radial (a_r) karena mempunyai arah sepanjang radius alias jari-jari lingkaran.

Sekarang kita turunkan persamaan untuk menentukan besar percepatan sentripetal alias percepatan radial.

Berdasarkan gambar di atas, tampak bahwa O x₁ tegak lurus terhadap v₁ dan O x₂ tegak lurus terhadap v₂. Dengan demikian, teta yang merupakan sudut antara O x₁ dan O x₂ juga merupakan sudt antara v₁ dan v₂.  Dengan demikian v₁, v₂ dan delta v membentuk segitiga yang sama secara geometris dengan segitiga O x₁ x₂ pada gambar di atas. Sambil lihat gambar di bawah…

Kita tulis semua kecepatan dengan v karena pada GMB kecepatan tangensial benda sama (v₁ = v₂ = v).

Benda yang melakukan gerakan dengan lintasan berbentuk lingkaran dengan jari-jari (r) dan laju tangensial tetap (v) mempunyai percepatan yang arahnya menuju pusat lingkaran dan besarnya adalah :

Berdasarkan persamaan percepatan sentripetal tersebut, terlihat bahwa nilai percepatan sentripetal bergantung pada besar  kecepatan tangensial dan radius alias jari-jari lintasan (lingkaran). Dengan demikian, semakin cepat laju gerakan melingkar, semakin cepat terjadi perubahan arah dan semakin besar radius, semakin lambat terjadi perubahan arah.

Arah vektor percepatan sentripetal selalu menuju ke pusat lingkaran, tetapi vektor kecepatan linear menuju arah gerak benda secara alami (lurus), sedangkan arah kecepatan sudut searah dengan putaran benda. Dengan demikian, vektor percepatan sentripetal dan kecepatan tangensial saling tegak lurus atau dengan kata lain pada Gerak Melingkar Beraturan arah percepatan dan kecepatan linear/tangensial tidak sama. Demikian juga arah percepatan sentripetal dan kecepatan sudut tidak sama karena arah percepatan sentripetal selalu menuju ke dalam/pusat lingkaran sedangkan arah kecepatan sudut sesuai dengan arah putaran benda (untuk kasus di atas searah dengan putaran jarum jam).

Kita dapat menyimpulkan bahwa dalam Gerak Melingkar Beraturan :

Pertama, besar kecepatan linear alias kecepatan tangensial adalah tetap, tetapi arah kecepatan linear selalu berubah setiap saat

Kedua, kecepatan sudut (baik besar maupun arah) selalu tetap setiap saat

Ketiga, percepatan sudut maupun percepatan tangensial bernilai nol

Keempat, dalam GMB hanya ada percepatan sentripetal

Periode dan Frekuensi

Gerak melingkar sering dijelaskan dalam frekuensi (f) sebagai jumlah putaran per detik. Periode (T) dari benda yang melakukan gerakan melingkar adalah waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan satu putaran. Hubungan antara frekuensi dengan periode dinyatakan dengan persamaan di bawah ini :Dalam satu putaran, benda menempuh lintasan linear sepanjang satu keliling lingkaran (2 phi r), di mana r merupakan jarak tepi lingkaran dengan pusat lingkaran. Kecepatan linear merupakan perbandingan antara panjang lintasan linear yang ditempuh benda dengan selang waktu tempuh. Secara matematis dirumuskan sebagai berikut :

Karena T = 1/f maka persamaan besar kecepatan linear bisa ditulis seperti ini :

Selang waktu yang diperlukan benda untuk menempuh satu putaran (satu keliling lingkaran) adalah T. Besar sudut satu putaran = 360^o. 360o = 2 phi

Karena T = 1/f maka persamaan besar kecepatan sudut dapat ditulis menjadi :

Sekarang kita tulis kembali persamaan Gerak Melingkar Beraturan (GMB) yang telah kita turunkan di atas ke dalam tabel di bawah ini :

Persamaan fungsi Gerak Melingkar Beraturan (GMB)

Pada Gerak Melingkar Beraturan, kecepatan sudut selalu tetap (baik besar maupun arahnya), di mana kecepatan sudut awal sama dengan kecepatan sudut akhir. Karena selalu sama, maka kecepatan sudut sesaat sama dengan kecepatan sudut rata-rata.

Kita telah mengetahui bahwa kecepatan sudut rata-rata dirumuskan sebagai berikut :

Contoh Soal 1 :

Sebuah bola bermassa 200 gram diikat pada ujung sebuah tali dan diputar dengan kelajuan tetap sehingga gerakan bola tersebut membentuk lingkaran horisontal dengan radius 0,2 meter. Jika bola menempuh 10 putaran dalam 5 detik, berapakah percepatan sentripetalnya ?

Panduan Jawaban :

Percepatan sentripetal dirumuskan dengan persamaan : a_r = v²/r. Karena laju putaran bola belum diketahui, maka terlebih dahulu kita tentukan laju bola (v). Apabila bola menempuh 10 putaran dalam 5 detik maka satu putaran ditempuh dalam 0,5 detik, di mana ini merupakan periode putaran (T). Jarak lintasan yang ditempuh benda adalah keliling lingkaran = 2 phi r, di mana r = jari-jari/radius lingkaran. Dengan demikian, laju bola :

v = 2 (3,14)(0,2 m)(2 hertz) = ……. m/s

Percepatan sentripetal bola :

a_r = v²/r
a_r = ^{………….}

Percepatan sentripetal jg bisa ditentukan secara langsung tanpa terlebih dahulu menentukan kelajuan bola.

Contoh Soal 2:

atu kali mengorbit bumi, bulan memerlukan waktu 27,3 hari. Jari-jari orbit bulan 384.000 km, berapakah percepatan bulan terhadap bumi ? (catatan : dalam GMB hanya ada percepatan sentripetal, sehingga jika ditanyakan percepatan, maka yang dimaksudkan adalah percepatan sentripetal)

Panduan Jawaban :

Ketika mengorbit bumi satu kali, bulan menempuh jarak 2phi r, di mana r = 3,84 x 10⁸ meter merupakan radius jalur lintasannya (lingkaran). Periode T dalam satuan sekon adalah T = (27,3 hari)(24 jam)(3600 s/jam) = 2,36 x 10⁶ s. Dengan demikian, percepatan sentripetal bulan terhadap bumi adalah :

Latihan Soal 3 :

Valentino Rosi mengendarai motornya melewati suatu tikungan yang berbentuk setengah lingkaran yang memiliki radius 20 meter. Jika laju sepeda motor 20 m/s, berapakah percepatan sepeda motor (dan The Doctor) ?

Panduan Jawaban :

Percepatan sentripetal sepeda motor + The Doctor adalah :